Question

已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证a*b＞b*a？ （*是a的b次幂的意思）

Answer 1

证明：令 f(x)=x ln a -a ln x,x属于(a,正无穷大).
则 f'(x)=ln a -a/x.
f''(x)=a/(x^2)>0,x属于(a,正无穷大).
即 f'(x)在(a,正无穷大)上单调递增.
所以 当 x>a>e 时,
f'(x)>f'(a)=ln a -1>0.
即 f(x)在(a,正无穷大)上单调递增.
所以 f(x)>f(a)=0.
所以 当b>a>e时,
f(b)=b ln a -a ln b>0,
即 b ln a >a ln b.
所以 a^b>b^a.