Question

已知1的3次方=1=4分之1*1的平方*2的平方；1的3次方+2的3次方=9=4分之1*2的平方*3的平方；

1的3次方+2的3次方+3的3次方=36=4分之1*3的平方*4的平方；1的3次方+2的3次方+3的3次方+4的3次方=100=4分之1*4的平方*5的平方
1.猜想填空：1的3次方+2的3次方+3的3次方+…+（n-1）的3次方+n的3次方=
计算：1的3次方+2的3次方+3的3次方+…+99的3次方+100的3次方

Answer 1

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
当n=100，得1^3+2^3+3^3+……+100^3=[100(100+1)/2]^2=25502500.

Answer 2

25502500