Question

设函数f(x)=ax²+2bx+c(a<b<c),m是方程f(x)=-a的实根,且f(1)=0(1)

设函数f(x)=ax²2bx+c(a<b<c),m是方程f(x)=-a的实根,且f(1)=0
(1)求证：-3<c/a<-1且b≤0
（2）判断f(m-4)的符号，并证明

如果解答正确详细，可以追加分

Answer 1

肯定要限定a≠0，否则没法证b≤0
1.f(1)=a+2b+c=0，b=-(a+c)/2
a<b<c，即a<-(a+c)/2<c
3a+c<0<a+3c (1)
-a/3<c<-3a0，若a>0，不等式不成立，所以a<0
（也可以解3a+c<0<a+3c，当a>0，c/a不存在）
故3+c/a>0>1+3c/a
-3<c/a<-1/3

m是方程f(x)=-a的实根
即ax²+2bx+c+a=0 有实根
Δ＝4b²-4a(a+c)≥0
即友陆(a+c)²-4a(a+c)=(a+c)(-3a+c)≥0 (2)
(1+c/a)(c/a-3)≥0
c/a≥3或c/a≤-1
(1)(2)解得-3<c/a≤-1（你写的题是不是有错，c/a可以等于1）
所以b=-(a+c)/2=-a(1+c/a)
-a>0，1+c/a≤0，所以b≤0

2.若Δ＝4b²-4a(a+c)=0
a<0，所以f(x)≤0恒成立，当且仅当f(m)=0，所以f(m-4)<0

(1)若Δ=(a+c)(-3a+c)>0
(2)若坦告正m为小根，则f(x)在(-∞,m)上单调递增，所以f(m-4)<0
(3)若m为大根
考虑两根区间长L，记L-4=A
若A>0，则f(m-4)>0
若A=0，则f(m-4)=0
若A<0，则f(m-4)<0
设f(x)=-a的让悔两根为x2>x1
L=x2-x1=√Δ=√[(a+c)(-3a+c)]

综上所述
若m为小根，f(m-4)<0
若m为大根
即Δ=(a+c)(-3a+c)
若Δ>16，则f(m-4)>0
若Δ=16，则f(m-4)=0
若0≤Δ<16，则f(m-4)<0