Question

定积分计算问题 ∫（上限2 下限0）x^2/根号下(2x-x^2) dx 怎么算 求详细过程

我看到答案里一开始是设x-1=sint 然后=∫（上限π/2 下限-π/2）这个我知道是要变成新变量的积分限， 可后面怎么又直接变成上限π/2 下限0了呢？ 不用考虑上限0 下限-π/2这个情况了么？

Answer 1

关于变成只有上限π/2下限0，
估计是因为被积函数是偶函数，
而考虑上限0下限-π/2这部分时，
只需2倍计算前者即可。

追问

偶函数？

追答

换元令x-1=sint之后，
分母成为√cos²t=|cost|=cost，
原分子x²=1+2sint+sin²t，
依分子分项后，
对应于2sint的项是奇函数，积分结果是0。
对应于1+sin²t的两项确是偶函数。
从而原积分化成=2∫【(1+sin²t)/cost】dt。