Question

如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE＝AC,AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．

Answer 1

证明：连接BD交AC于点O，过点E作EG⊥AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，OD=BD/2，∠DOC=90°，∠ACD=45°，
∵EG⊥AC，
∴∠EGO=90°，
∴∠DOC+∠EGO=180°，
∴OD//EG，
又∵OG//DE，
∴四边形DOGE是矩形，
∴DO=EG=BD/2=AC/2，
∵AE=AC，
∴在Rt△AGE中，EG=AE/2，∠ACE=∠AEC，
∴∠EAG=30°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-∠EAG=180°-30°=150°，
∴∠AEC=∠ACE=150°÷2=75°，
∴∠ECF=∠ACE-∠ACD=75°-45°=30°，
∴∠EFC=180°-∠ECF-∠FEC=180°-30°-75°=75°，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CE＝CF.

Answer 2

证明：
连BD,交AC于O,作△ACE边AC上高EG,
DO=EG=BD/2=AC/2,
AC=AE
∴直角△AEG中,EG=AE/2,
∴∠EAC=30°
∠AEC=75°
∠ECF=∠ACE-∠ACD=75-45=30,
∠EFC=75,
∴CE＝CF