Question

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足条件b2+c2-a2=bc=1,cosB.cosC=-1/8,则△ABC的周长为多少？

Answer 1

b^2+c^2-a^2=bc=1
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=bc/2bc=1/2
cosA=1/2
A=π/3
又cosBcosC=-1/8
由余弦定理得:
(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)/4a^2bc=-1/8
2(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=-a^2
2[a^2-(b^2-c^2)][a^2+(b^2-c^2)]=-a^2
2[a^2-(b^2-c^2)^2]=-a^2
2[a^2-(b^2+c^2)^2+4(bc)^2]=-a^2 (因b^2+c^2=1+a^2 ,bc=1)
2[a^2-(1+a^2 )^2+4]=-a^2
2a^2-2(1+a^2 )^2+8=-a^2
2a^4-a^2+6=0
(a^2-2)(2a^2+3)=0
a^2-2=0或 2a^2+3=0(舍去)
a^2=2
a=√2
因b^2+c^2=1+a^2
b^2+c^2=3
(b+c)^2=3+2bc=3+2*1=5
b+c=√5
即有:a+b+c=√2+√5

Answer 2

引用1970TILI9的回答：
b^2+c^2-a^2=bc=1
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=bc/2bc=1/2
cosA=1/2
A=π/3
又cosBcosC=-1/8
由余弦定理得:
(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)/4a^2bc=-1/8
2(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=-a^2
2[a^2-(b^2-c^2)][a^2+(b^2-c^2)]=-a^2
2[a^2-(b^2-c^2)^2]=-a^2
2[a^2-(b^2+c^2)^2+4(bc)^2]=-a^2 (因b^2+c^2=1+a^2 ,bc=1)
2[a^2-(1+a^2 )^2+4]=-a^2
2a^2-2(1+a^2 )^2+8=-a^2
2a^4-a^2+6=0
(a^2-2)(2a^2+3)=0
a^2-2=0或 2a^2+3=0(舍去)
a^2=2
a=√2
因b^2+c^2=1+a^2
b^2+c^2=3
(b+c)^2=3+2bc=3+2*1=5
b+c=√5
即有:a+b+c=√2+√5

第十行，a^2应该为a^4