Question

一道高三向量题目！

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若向量AB·向量AC=向量BA·向量BC=k（k∈R）求：
1。 判断△ABC的形状
2。若c=根号2，求k的值

Answer 1

解：(1) 因为 向量AB·向量AC=向量BA·向量BC=k,
所以 bc cos A =ac cos B=k.
由余弦定理,
cos A =(b^2+c^2-a^2)/(2bc),
cos B =(a^2+c^2-b^2)/(2ac).
所以 k=(b^2+c^2-a^2)/2 =(a^2+c^2-b^2)/2.
所以 a^2=b^2.
又因为 a>0,b>0,
所以 a=b.
所以 △ABC是等腰三角形.

(2) 因为 a=b,
所以 当c=根号2 时,
k=(b^2+c^2-a^2)/2
=(根号2)^2 /2
=1.

= = = = = = = = =
解法2：(1) 作CD垂直于AB于D.
则 向量AB·向量AC=|AB|*|AC|*cos A=c|AD|.
向量BA·向量BC=|BA|*|BC|*cos B=c|BD|.
所以 k=c|AD|=c|BD|.
所以 |AD|=|BD|.
所以 |CA|=|CB|, 即 △ABC是等腰三角形.

(2) 因为 |AD|=|BD|, 且|AD|+|BD|=c=根号2,
所以 |AD|=(根号2)/2,
所以 k=c|AD|=1.