Question

怎样算多项式的有理根

Answer 1

算法：

P(x) =anx+an−1x+ ... +a1x+a0，a0, ...,an∈Z,P(p/q) = 0 ，p,q∈Z:

-a0qn整除p，因为p,q互质所以a0整除p，p是a0的因子。同理可证明q是an的因子。

有理根定理

• 定理：

  设，一有理系数方程f(x)=a x+...+a x+a ,其中a ≠0。若有一有理数x 是f(x)的根，显然x =s/t，其中s、t∈Z且(s，t)=1，则|t|整除|a ,且|s|整除|a |。

• 应用：

  例：求f(x)=x-6x+15x-14的全部复数根
  

  解 设f(x)存在有理根s/t,则t|1,s|14.因此t=1。

  又当x<0,恒有f(x)<0.则f(x)的实根只能大于0，

  ∴s∈1、2、7、14。

  带入f(x)试验知道2是f(x)的根，有x-2除f(x)得到q(x)=x-4x+7。

  易得q(x)的根为2±√3i

  ∴f(x)的根是2、2±√3 i

• 证明：

  P(x) =anx+an−1x+ ... +a1x+a0，a0, ...,an∈Z,P(p/q) = 0 ，p,q∈Z:-a0qn整除p，因为p,q互质所以a0整除p，p是a0的因子。同理可证明q是an的因子。

Answer 2

整系数方程 anx^n + a(n-1)x^(n-1) + .... + a2x^2 + a1x + a0 = 0 的有理根 x = p/q满足：p 能整除 a0 ，q 能整除 an 。

Answer 3

整系数方程 anx^n + a(n-1)x^(n-1) + .... + a2x^2 + a1x + a0 = 0 的有理根 x = p/q
满足：p 能整除 a0 ，q 能整除 an 。
要求整系数方程的有理根，只须把 an、a0 分解质因数，然后找出所有的 p/q ，
代入一一试验，满足的是根，不满足的不是根 。