Question

求解，关于不一致连续的证明题？ 如图

Answer 1

对任意ε>0及x'∈(c,1)，存在d=εc^2，使对所有|x-x'|<d，有
|f(x)-f(x')|
=|sin(1/x)-sin(1/x')|
=|2cos[(x+x')/2xx']sin[(x-x')/2xx']|
<=2|sin[(x-x')/2xx']|
<=|x-x'|/xx'
<d/c^2
=ε
因为d的取值只与ε有关，而与x'无关，所以f(x)在(c,1)上一致连续

对任意ε>0及x'∈(c,1)，存在d=(εx'^2)/(1+εx')，使对所有|x-x'|<d，有
|f(x)-f(x')|
=|sin(1/x)-sin(1/x')|
=|2cos[(x+x')/2xx']sin[(x-x')/2xx']|
<=2|sin[(x-x')/2xx']|
<=|x-x'|/xx'
<d/[x'(x'-d)]
=ε
因为d的取值同时与ε和x'有关，所以f(x)在(0,1)上非一致连续

Answer 2

提示：考察f(x)的极大值点和极小值点