Question

若F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,P是以F1,F2为直径的圆与椭圆的一交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1

求该椭圆的离心率

Answer 1

可求得角F1PF2=90度.
继而求得:角PF1F2+角PF2F1=5角PF2F1+角PF2F1=6角PF2F1=90度
即角PF2F1=15度, 角PF1F2=75度.
记PF1=m, PF2=n.
则m+n=2a, (1)
m*n=[(2c)sin15度]*[(2c)cos15度]=2C^2[sin15 *cos15]=2c^2(sin30度)=c^2 (2)
m^2 +n^2=4c^2 (3)
(1)式平方: m^2 +n^2 +2mn=4a^2
将(2) (3)代入: 4c^2 +2c^2 =4a^2
即 6c^2=4a^2
求得:(c/a)^2=2/3
故得,离心率e=根号(2/3)=(根号6)/3

Answer 2

已知实际为椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，且∠PF1F2=5∠PF2F1。
在ΔPF1F2中，有
∵PF1⊥PF2， ∴sin∠F1PF2=1,
令此椭圆方程为
则由椭圆第一定义有 |PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
∴由(*)式有
又 ∵∠PF1F2=5∠PF2F1， ∴∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，
∴

∴由(**)式有 ，∴ ，
即 。

Answer 3

可求得角F1PF2=90度.
继而求得:角PF1F2+角PF2F1=5角PF2F1+角PF2F1=6角PF2F1=90度
即角PF2F1=15度,角PF1F2=75度.
记PF1=m,PF2=n.
则m+n=2a,(1)
m*n=[(2c)sin15度]*[(2c)cos15度]=2C^2[sin15*cos15]=2c^2(sin30度)=c^2(2)
m^2+n^2=4c^2(3)
(1)式平方:m^2+n^2+2mn=4a^2
将(2)(3)代入:4c^2+2c^2=4a^2
即6c^2=4a^2
求得:(c/a)^2=2/3
故得,离心率e=根号(2/3)=(根号6)/3