Question

y^3•y''+1=0 的通解怎么求

Answer 1

通解为 y²=(1/C₁)[(C₁x+C₁C₂)²+1]

设y′=p.

则y′′=dy′/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy),

代入原式得：p(dp/dy)y³=1,

分离变量得：pdp=dy/y³；

积分之得p²/2=-1/(2y²)+(C₁)/2；

即有p²=-(1/y²)+C₁；

故得p=y′=dy/dx=√[C₁-(1/y²)]；

于是得dy/√[C₁-(1/y²)]=dx；

即有ydy/√(C₁y²-1)=dx；

积分之：(1/2C₁)∫d(C₁y²-1)/√(C₁y²-1)=∫dx；

故得(1/C₁)√(C₁y²-1)=x+C₂；即C₁y²-1=(C₁x+C₁C₂)²；

故 y²=(1/C₁)[(C₁x+C₁C₂)²+1]为其通解.

扩展资料：

对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解（general solution）。

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

参考资料：百度百科-通解

Answer 2

解微分方程y''y³-1=0的通解
设y′=p.则y′′=dy′/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy),代入原式得：
p(dp/dy)y³=1,分离变量得：pdp=dy/y³；积分之得p²/2=-1/(2y²)+(C₁)/2；即有p²=-(1/y²)+C₁；
故得p=y′=dy/dx=√[C₁-(1/y²)]；于是得dy/√[C₁-(1/y²)]=dx；即有ydy/√(C₁y²-1)=dx；
积分之：(1/2C₁)∫d(C₁y²-1)/√(C₁y²-1)=∫dx；
故得(1/C₁)√(C₁y²-1)=x+C₂；即C₁y²-1=(C₁x+C₁C₂)²；
故 y²=(1/C₁)[(C₁x+C₁C₂)²+1]为其通解.

Answer 3

参考下题