Question

初三数学 二次函数y=-1/2x2+c的图像经过D（-根号3，9/2),与x轴交于A、B两点，

二次函数y=（-1/2）X2+c的图像经过D（-根号3，9/2),与x轴交于A、B两点。（1）如图，设点C为该二次函数的图像在X轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；（2)设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使三角形AQP全等三角形ABP？如果存在，请举验证你的猜想；如果不存在，请说明理由

Answer 1

（1）过点D、点B分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，

∵AC将四边形ABCD的面积二等分，

即S△ABC=S△ADC，∴DE=BF。

又∵∠DME=∠BMF,∠DEM=∠BFE,

∴△DEM≌△BFM，∴DM=BM，即AC平分BD.

∵c=6，抛物线为y=-½x²+6.，

∴其与x轴交点A（-2√3，0）、B（2√3，0）            （“√”为根号）

∵M是BD的中点，∴M  （√3/2，9/4）.

设AC的解析式为y=kx+b，经过A，M点，

∴{2√3k+b=0

  {√3/2k+b=9/4, 得k=3√3/10,b=9/5.

∴直线AC的解析式为y=3√3/10 x+9/5.

（2）存在.设抛物线顶点为N(0，6），在Rt△AON中，易得AN=4√3，于是以A点为圆心， 

AB=4√3为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线

于P，连接BP，PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP

Answer 2

分析：（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；
（2）若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；
由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）由于△ABP是直角三角形，且P点在x轴上方的抛物线上，那么P必为直角顶点，即∠APB=90°，若Rt△AQP全等于Rt△ABP，且Q点在x轴上方的抛物线上，那么∠APQ也必为直角，由此可得B、P、Q三点共线，而一条直线与抛物线的交点最多有两个，显然这种情况不成立，所以不存在符合条件的P、Q点．
解答：解：（1）∵抛物线经过D（﹣ ），则有：
﹣×3+c=，解得c=6；

（2）设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N；
∵S△ADC=S△ACB，
∴AC•DM=AC•BN，即DM=BN；
∴CE•DM=CE•BN，
即S△CED=S△BEC（*）；
设△BCD中，BD边上的高为h，由（*）得：
DE•h=BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（﹣2 ，0），B（2 ，0），D（﹣ ，），
由于E是BD的中点，则E（ ，）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得 ；
∴直线AC的解析式为y=x+；

（3）由于P、Q都在x轴上方的抛物线上，若△APB是直角三角形，则∠APB=90°；
若Rt△AQP全等于Rt△ABP，则AB=AQ，∠APQ=∠APB，即B、P、Q三点共线；
显然一条直线不可能与一个抛物线有3个交点，
故不存在符号条件的P、Q点．

Answer 3

把点坐标代入函数式可得c=6,解方程-0.5x^2+6=0得A(-2√3,0），B（2√3,0）。设AC、BD交与点O，过B、D做AC的垂线与AC交与E、F，因为直线AC将四边形ABCD的面积二等分，所以三角形ACB和三角形ACD面积相等，所以BE=DF,直角三角形BOE和直角三角形DOF全等，所以BO=DO，即线段BD被直线AC平分，此时O（(√3)/2,9/4),可设AC方程为y=kx+b，利用A、O坐标可求出k、b。以AB为直径构造一个圆，这个圆上的一点为H(m,n),设其为BP的中点，则P（2m-2√3，2n），且有m^2+n^2=12,n=-0.5m^2+6,解得m^2=8或m^2=12(舍去),取m=2√2，得n=2，即可得P点坐标.由于H是BP的中点，又是圆上的点，所以AH垂直平分BP，设AH与抛物线交与点Q，则有三角形AQP全等三角形ABP。

感觉这个题作为初三题有点难

Answer 4

3/2）*（5/4）*（17/16）+（1/2）^15
=3*5*17/（1/2）^15+(1/2)^15
=255/(1/2)^15+(1/2)^15
=256/(1/2)^15
=(1/2)^7
=1/128