Question

如图；二次函数Y=-1/2X平方+C的图像经过点D（负根号3,9/2），与X轴交于A,B两点。

1，求C的值？
2，设点C为该二次函数的图像在X轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式。

Answer 1

分析：（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；
（2）若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；
由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）由于△ABP是直角三角形，且P点在x轴上方的抛物线上，那么P必为直角顶点，即∠APB=90°，若Rt△AQP全等于Rt△ABP，且Q点在x轴上方的抛物线上，那么∠APQ也必为直角，由此可得B、P、Q三点共线，而一条直线与抛物线的交点最多有两个，显然这种情况不成立，所以不存在符合条件的P、Q点．
解答：解：（1）∵抛物线经过D（﹣ ），则有：
﹣×3+c=，解得c=6；

（2）设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N；
∵S△ADC=S△ACB，
∴AC•DM=AC•BN，即DM=BN；
∴CE•DM=CE•BN，
即S△CED=S△BEC（*）；
设△BCD中，BD边上的高为h，由（*）得：
DE•h=BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（﹣2 ，0），B（2 ，0），D（﹣ ，），
由于E是BD的中点，则E（ ，）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得 ；
∴直线AC的解析式为y=x+；

（3）由于P、Q都在x轴上方的抛物线上，若△APB是直角三角形，则∠APB=90°；
若Rt△AQP全等于Rt△ABP，则AB=AQ，∠APQ=∠APB，即B、P、Q三点共线；
显然一条直线不可能与一个抛物线有3个交点，
故不存在符号条件的P、Q点．

Answer 2

如图，二次函数y=
12x2-x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）若A（-4，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；
（3）是否存在抛物线y=
12x2-x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 3

分析：（1）将D点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数c的值；
（2）若△ACD与△ABC的面积相等，则两个三角形中，AC边上的高相等，设AC、BD的交点为E，若以CE为底，AC边上的高为高，可证得△CED和△CEB的面积相等；这两个三角形中，若以DE、BE为底，则两个三角形同高，那么DE=BE，由此可证得AC平分BD；
由于E是BD的中点，根据B、D的坐标，即可求出E点的坐标，根据A、E的坐标即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（3）由于△ABP是直角三角形，且P点在x轴上方的抛物线上，那么P必为直角顶点，即∠APB=90°，若Rt△AQP全等于Rt△ABP，且Q点在x轴上方的抛物线上，那么∠APQ也必为直角，由此可得B、P、Q三点共线，而一条直线与抛物线的交点最多有两个，显然这种情况不成立，所以不存在符合条件的P、Q点．
解答：解：（1）∵抛物线经过D（﹣ ），则有：
﹣×3+c=，解得c=6；

（2）设AC与BD的交点为E，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N；
∵S△ADC=S△ACB，
∴AC•DM=AC•BN，即DM=BN；
∴CE•DM=CE•BN，
即S△CED=S△BEC（*）；
设△BCD中，BD边上的高为h，由（*）得：
DE•h=BE•h，即BE=DE，故AC平分BD；
易知：A（﹣2 ，0），B（2 ，0），D（﹣ ，），
由于E是BD的中点，则E（ ，）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得 ；
∴直线AC的解析式为y=x+；

（3）由于P、Q都在x轴上方的抛物线上，若△APB是直角三角形，则∠APB=90°；
若Rt△AQP全等于Rt△ABP，则AB=AQ，∠APQ=∠APB，即B、P、Q三点共线；
显然一条直线不可能与一个抛物线有3个交点，
故不存在符号条件的P、Q点．