Question

如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M.N分别是AB.PC的中点

Answer 1

如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN//平面PAD；
（2）若 MN=PC=4 ，PA=4根号下3，求异面直线PA与MN所成的角的大小.

解：（1）取PD的中点H，连接AH
由N是PC的中点，
所以 NH 平行且等于1/2（DC）
由M是AB的中点，
所以NH平行且等于AM，
即AMNH为平行四边形.
所以MN//AH
由MN不属于平面PAD，AH属于平面PAD
所以MN//PAD .
（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，
所以OM平行且等于1/2（BC），ON 平行且等于1/2（PA），
所以角ONM 就是异面直线PA与MN所成的角，且MO垂直于 NO.
由MN=PC=4 ，PA=4根号下3
得OM=2，ON= 2根号下3
所以角OMN=30度 ，即异面直线PA与MN成30°的角

Answer 2

证明：（1）连结DB∩AC＝O，则O为DB与AC的中点.
∵PN＝CN,AO=CO
∴NO∥PA
∵NO不包含于平面PAD，PA包含于平面PAD
∴NO∥平面PAD
同理：MO∥平面PAD
∵NO∩MO＝O
∴平面MON∥平面PAD
∴MN//平面PAD

Answer 3

证明：（1）连结DB∩AC＝O，则O为DB与AC的中点.
∵PN＝CN,AO=CO
∴NO∥PA
∵NO不包含于平面PAD，PA包含于平面PAD
∴NO∥平面PAD
同理：MO∥平面PAD
∵NO∩MO＝O
∴平面MON∥平面PAD
∴MN//平面PAD

Answer 4

pb中点q，则qn是三角形pbc的中位线,qm是三角形pab
qn∥bc,qm∥pa
四边形abcd是平行四边形，所以ad∥qn∥bc
∵qm,qn∈平面qmn
ad，pa∈平面pad
∴平面mnq∥平面pad

Answer 5

MN‖平面PAD