Question

为什么不同特征值的特征向量线性无关？

Answer 1

这个问题你可以作为一道证明题来做：
证明不同特征值对应的特征向量线型无关。
设x1,x2 是A的两个不同的特征值；n1,n2分别为其对应的特征向量。
设存在实数k1.k2 使得 k1*n1+k2*n2=0;
易证不同特征值对应的特征向量线型无关。

还可以从特征值和特征向量的定义式看：
An1=x1*n1;An2=x2*n2
A 为矩阵； x1,x2为特征值；n1,n2为其对应的特征向量
若n2与n1 线性相关，则n2= b*n1 带入An2=x2*n2得到：
b*An1=b*x1*n1 ;也即An1=x1*n1
得到特征值x2的存在是没有意义的，或者说是和x1相等的。
与已知他们是两个不同的特征值是矛盾的。
所以：n2与n1 线性相关的假设是错误的。

Answer 2

如果两个特征向量x1，x2线性相关，则对应分量成比例，即x1=k x2
那么两个特征向量的特征值必然相等。A x1=k A x2=K K2 X2=K2 X1=k1 x1，
所以k1=k2。