Question

已知实数x,y满足x^2+y^2=1,则x+y的最小值为

Answer 1

实数x,y满足x^2+y^2=1
设L=X+Y,则Y=L-X
所以有 X^2+(L-X)^2=1
X^2+L^2-2LX+X^2-1=0
对于二次函数 2X^2-2LX+L^2-1=0有实数根
其判别式 (-2L)^2-4*2*(L^2-1)>=0
8-4L^2>=0
L^2<=2
所以L<=√2,或者L>=-√2
所以X+Y最小值为-√2

Answer 2

实数x,y是单位圆上的点，问题转化为斜率为一的直线簇在圆域内移动，当在y轴的截距最小时，x+y最小。容易想到直线与圆在第三象限相切时切点
（-√2/2,-√2/2)，此时x+y最小为-√2。

Answer 3

设x=sina,y=cosa,x+y=根号2倍的sin(x+派/4)，故最小值为负根号2。

Answer 4

实数x,y满足x^2+y^2=1
设L=X+Y,则Y=L-X
所以有
X^2+(L-X)^2=1
X^2+L^2-2LX+X^2-1=0
对于二次函数
2X^2-2LX+L^2-1=0有实数根
其判别式
(-2L)^2-4*2*(L^2-1)>=0
8-4L^2>=0
L^2<=2
所以L<=√2,或者L>=-√2
所以X+Y最小值为-√2