Question

设pq为抛物线y=x^2/4的弦,且pq在此抛物线过p点的法线上,求pq长度的最小值

Answer 1

y=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+4+c

设P(2+p,4+c-p^2),则Q(2-p,4+c-p^2)

由PE⊥PQ,PE=PQ得E(2+P,4+c-2p-p^2)

抛物线的对称轴x=2与QN交于F(2，4+c-(m^2+p^2)/2),与PQ交于G(2，4+c-p^2)

S△QFG=(p/2)(yG-yF)=p(m^2-p^2)/4

以Q、N、M、P为顶点的四边形被对称轴分成面积比为1:5的两部分

∴S△QFG：S(PQNM)=1/6

∴m=2p

抛物线性质

如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

Answer 2

y=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+4+c,
设P(2+p,4+c-p^2),则Q(2-p,4+c-p^2),
由PE⊥PQ,PE=PQ得E(2+P,4+c-2p-p^2),
设M(2+m,4+c-m^2),m>p>0,则N(2+p,4+c-m^2),
直线QN的斜率=(p^2-m^2)/(2p),
QN的方程是y-(4+c-m^2)=(p^2-m^2)(x-2-p)/(2p),
抛物线的对称轴x=2与QN交于F(2，4+c-(m^2+p^2)/2),与PQ交于G(2，4+c-p^2),
S△QFG=(p/2)(yG-yF)=p(m^2-p^2)/4.
S(PQNM)=(1/2)(PQ+MN)*PN=(1/2)(2p+m-p)(m^2-p^2),
以Q、N、M、P为顶点的四边形被对称轴分成面积比为1:5的两部分,
∴S△QFG：S(PQNM)=1/6，
∴m=2p.待续

Answer 3