假设是η1,η2,η3齐次线性方程组Ax=θ的基础解系。证明向量组η1+η2,η2+η3,η3+η1也是Ax=θ的基础解
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0=k1(η1+η2)+k2(η2+η3)+k3(η3+η1)
=(k1+k3)η1+(k1+k2)η2+(k2+k3)η3
因η1,η2,η3齐次线性方程组Ax=0的基础解系，所以
k1+k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0
k1=k2=k3=0
故向量组η1+η2,η2+η3,η3+η1也是Ax=0的基础解
（因η1+η2,η2+η3,η3+η1也是Ax=0的解，且线性无关）
=(k1+k3)η1+(k1+k2)η2+(k2+k3)η3
因η1,η2,η3齐次线性方程组Ax=0的基础解系，所以
k1+k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0
k1=k2=k3=0
故向量组η1+η2,η2+η3,η3+η1也是Ax=0的基础解
（因η1+η2,η2+η3,η3+η1也是Ax=0的解，且线性无关）
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