Question

实数和复数等势怎么证明

Answer 1

有限集和无限集不是这样分的.问题有点复杂,先给你答案. 自然数集、 有理数集、 代数数集都是可列集. 实数集、复数集、直线点集、 平面点集都是不可列集（或不可数集）. 有限集都可以说是自然数的真子集,当然可列,但没有可列有限集这个词.不这到叫. 下面是分析. 区分集合的有限和无限,是根据集合的基数. 说通俗点（但不够科学）就是集合中元素的个数.用数字,1,2,……表示. 如集合{1,2,3}有三个元素,基数是3.基数(cardinal number)也叫势(cardinality). 集合的基数是任何一个具体数字时,就叫做有限集合. 而当一个集合的基数超过自然数的范围,就是说比任何一个自然数都要大时.就是无限集合. 比如全体自然数是第一个无限集合.它的基数叫做阿列夫零,阿列夫(aleph),是希伯来文字母表的第一个字母.很难写,就不给你写了.我用(aleph)表示. 无限集合和有限集合有一个本质的区别是, 每个有限集合都大于它的真子集.像{1,2,3}比{1,2}大. 而无限集合在有时候“等于”它的某些真子集. 用集合的语言就是映射,即它和它的一个子集能形成一一对应关系. 比如,全体自然数{1,2,3,……}对应于{1,4,9,……},明显,后者是前者的真子集. 但确实,你说出任何一个自然数,都有一个它的平方和它对应,而且也是自然数. 所以,阿列夫零(aleph)0有个性质,那就是,(aleph)零=(aleph)零+1.其实,你随便加多少都一样. 同样你也能看到,全体整数也和自然数对应.它们有同样的基数(aleph)零.也就是(aleph)零+(aleph)零=(aleph)零. 用专业的话叫做等势.通俗点讲就是,我去掉它的一半,它还有原来相等.这就是它的无限性. 无限下的运算不能按常规下的来,但它的运算法则,也可以说清楚. 其实,全体自然数,整数,以及自然数中那种1,4,9,……等数列的基数都相等,就是(aleph)零,连全体有理数的基数也是(aleph)零.证明这些的关键是,能在这两种集合之间的构造出一个一一对应关系的映射. 下面再解决可列与不可列的问题. 但并不是所有无限集合都和全体自然数,也就是基数为(aleph)零的无限数能构成一一对应.比如,实数.当然全体实数也是无限的,但它却和自然数之间构造不出一一对应关系.所以,在全体实数这个无穷之上,还有更大的无穷.其实,根据无限的定义,就可以知道,有比(aleph)零大的无穷.比如,2的(aleph)零次方（专业的叫法是它的幂集,不写它了）.也就是说,(aleph零)<2^(aleph零),我们叫,2^(aleph零)=(aleph壹). 甚至这个问题可以接着往下数.所有这些都叫做超限数. 但我们知道,全体自然数是可以列举出来的.所以,这种集合我们叫它可列. 但我们同时知道,全体实数是无法列出来的,甚至用一个无限集也无法把它间接列出来. 全体有理数虽然本身无法全部列举,可是我们却可以用全体自然数和它之间建立一个一一映射关系.比如,把全体有理数,表示成,……q(0),q(1),q(2),……,所以它也可列.这是可以严格证明的,但全体实数无法给出这种证明.所以,它就是不可列的. 我不给你说清楚的界线,是因为目前还有些问题没有解决. 比如,全体实数的基数是我们知道的第一个不可列无穷基数,我们叫它为C. 但它在上面(aleph)系列中对应于谁现在还没有解决.集合论的创始人康托尔本人,认为,实数的基数C=(aleph壹). 但在阿列夫数之间有没有什么超限数?比如说,有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小?康妥确信不存在这种数.他的猜测成为著名的广义连续统假设. 这是二十世纪最著名的数学问题之一. 这是一个今天还在发展着的前沿.