Question

lim（x→0）（x-arcsinx）/x^3 极限怎么求 求具体过程 x-arcsinx是分子

lim（x→0）（x-arcsinx）/x^3 极限怎么求 求具体过程
x-arcsinx是分子x^3是分母

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

变量代换利用等价无穷小替换和洛比塔法则即可

Answer 3

使用泰勒展开得到arcsinx=x+(1/6)*x^3+(3/40)*x^5+………
于是x-arcsinx= -(1/6)*x^3 -(3/40)*x^5+………
再除以分母x^3得到-(1/6) -(3/40)*x²+………
代入x=0，极限值当然为 -1/6
或者洛必达法则，分子分母同时求导得到
极限值=(1-1/√(1-x²)) /3x²
=[√(1-x²) -1] /3x² *1/√(1-x²) 分子分母同时乘以[√(1-x²) +1]
=[√(1-x²) -1][√(1-x²) +1] / [3x² *√(1-x²)] *1/[√(1-x²) +1]
= -x² / [3x² *√(1+x²)] *1/[√(1+x²) +1]
= -1/ [3√(1+x²)] *1/[√(1+x²) +1]
代入x=0，得到极限值= -1/6

Answer 4

等价无穷小替换直接得结果。