Question

∫x²arctanxdx怎么算

Answer 1

分部积分思想：

∫x^2arctanxdx=(1/3)∫arctanxdx^3

=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫x^3darctanx

=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫[(x^3+x)-x]/(1+x^2)dx

=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫xdx+(1/3)∫(x)/(1+x^2)dx

=(1/3)x^3arctanx-(1/6)x^2+(1/6)ln(1+x^2)+C（C为常数）

扩展资料：

分部积分的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，那么，两个函数乘积的导数公式为(uv)'=u'v+uv'，移项得 uv'=(uv)'-u'v。

对这个等式两边求不定积分，得：

∫uv'dx=uv-∫u'vdx (1)

公式(1)称为分部积分公式。如果求∫uv'dx有困难，而求∫u'vdx比较容易时，分部积分公式就可以发挥作用了。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示

Answer 3

分部积分思想：
∫x^2arctanxdx=(1/3)∫arctanxdx^3
=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫x^3darctanx
=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫[(x^3+x)-x]/(1+x^2)dx
=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫xdx+(1/3)∫(x)/(1+x^2)dx
=(1/3)x^3arctanx-(1/6)x^2+(1/6)ln(1+x^2)+C
C为常数.

追问

第三部以后看不懂了，能解释一下吗？

追答

(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫[(x^3+x)-x]/(1+x^2)dx
=(1/3)x^3arctanx-(1/3)∫xdx+(1/3)∫(x)/(1+x^2)dx
这一步是把分子次数降低利于求积分，把x^3写成x^3+x-x，因为（x^3+x）/(1+x^2)=x,这就好做了。(x)/(1+x^2)，对ln((1+x^2))求导就可以得到(2x)/(1+x^2)

追问

1/3【x³arctan－∫（x³＋x）－x/1＋x²dx】=1/3【x³arctanx－∫x（x²＋1）/（1+x²）dx-x/（x²+1）dx】是这样吗

追答

是的，不过正负号别搞错了就可以

追问

谢谢了，老铁

Answer 4

分部积分 ∫x²arctanxdx=1/3∫arctanxdx3=1/3x3arctanx-1/3∫x3darctanx=1/3x3arctanx-1/3∫[(x3+x)-x]/(1+x2)dx=1/3x3arctanx-1/6x2+1/6ln(1+x2)

Answer 5

这个就是不断的用谎言华，不是换颜色分布积分法把它变成一个常见的积分。