Question

高中数学题，求解

高中数学题，求解求过程

Answer 1

将y=(√3)x代入椭圆方程得：b²x²+3a²x²=a²b²；故得 x²=a²b²/(3a²+b²)；
x=±ab/√(3a²+b²); y²=3x²=3a²b²/(3a²+b²)；故y=±ab(√3)/√(3a²+b²);
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；且x₁=-ab/√(3a²+b²)，y₁=-ab(√3)/√(3a²+b²);
x₂=ab/√(3a²+b²)，y₂=ab(√3)/√(3a²+b²); F(-c，0)
向量AF={-c-x₁，0-y₁}={-c+ab/√(3a²+b²)，ab(√3)/√(3a²+b²)}；
向量BF={-c-x₂，0-y₂}={-c-ab/√(3a²+b²),-ab(√3)/√(3a²+b²)}; ∵AF⊥BF;
∴AF•BF=[-c+ab/√(3a²+b²)][-c-ab/√(3a²+b²)]+[ab(√3)/√(3a²+b²)][-ab(√3)/√(3a²+b²)]
=c²-a²b²/(3a²+b²)-3a²b²/(3a²+b²)=c²-4a²b²/(3a²+b²)=0；将b²=a²-c²，e=c/a代入得：
c²=4a²(a²-c²)/(3a²+a²-c²)=4a²(a²-c²)/(4a²-c²)=4a²(1-e²)/(4-e²);
两边同除以a²得：e²=4(1-e²)/(4-e²)；即有e^4-8e²+4=0；故e²=4-2√3；
∴e=√(4-2√3)=(√3)-1；

Answer 2

这样做