Question

求解高数，如图所示

Answer 1

(21).求导数：x^y=y^x；

解：两边取对数：ylnx=xlny；两边对x取导数：y'lnx+(y/x)=lny+xy'/y

故 [(x/y)-lnx]y'=(y/x)-lny；∴y'=[(y/x)-lny]/[(x/y)-lnx]=(y²-xylny)/(x²-xylnx);

(27) 求微分方程 y''-2y'+y=e^x满足y(0)=1,  y'(0)=2的特解

齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程 r²-2r+1=(r-1)²=0有重根r₁=r₂=1,

故齐次方程的通解为：y=(c₁+c₂x)e^x

可设原方程的特解为：

y*=ax²e^x........①；y*'=2axe^x+ax²e^x=(2ax+ax²)e^x..........②；  

y*''=(2a+2ax)e^x+(2ax+ax²)e^x=(2a+4ax+ax²)e^x..............③;

将①②③代入原式得：(2a+4ax+ax²)e^x-2(2ax+ax²)e^x+ax²e^x=2ae^x=e^x

故a=1/2；∴y*=(1/2)x²e^x; 故原方程的通解为：y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^x

代入y(0)=1得c₁=1；y'=(c₂+x)e^x+[1+c₂x+(1/2)x²]e^x，代入y'(0)=2得c₂=1；

故满足初始条件的特解为：y=[1+x+(1/2)x²]e^x.

【注：第23题的积分不能表为有限形式，简单地讲，就是积不出来。但可以把被积函数1/lnx展成泰勒级数，再逐项积分，很麻烦。】