Question

线性代数求二次型的秩

Answer 1

写出二次型矩阵为：

{1，-1，-1}

{-1，1，1}

{-1，1，3} 

r2+r1，r3+r1，r3/2，交换r2r3，r1+r2。

{1，-1，0}

{0，0，1}

{0，0，0}

显然二次型的秩为2。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。

而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。

扩展资料：

向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩。

则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间是由 A的纵列生成的 F的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。

矩阵的秩性质：如果 B是秩 n的 n× k矩阵，则 AB有同 A一样的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩阵，则 CA有同 A一样的秩。A的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆 m× m矩阵 X和一个可逆的 n× n矩阵 Y使得 这里的 Ir指示 r× r单位矩阵。

证明可以通过高斯消去法构造性地给出。矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。

参考资料来源：百度百科-秩

Answer 2

写出二次型矩阵为
1 -1 -1
-1 1 1
-1 1 3 r2+r1,r3+r1,r3/2,交换r2r3，r1+r2
～
1 -1 0
0 0 1
0 0 0
显然二次型的秩为2