Question

闭区间上的函数一定有界吗？(没说连续）求证明

Answer 1

函数在闭区间上连续，函数的极限存在，函数在x0的某一邻域内有界。

反证法：

设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，函数在[a,b]无界。

将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b]，设函数在[a,a+b/2]无界(函数不可能在两个闭区间有界)，设a=a1，a+b/2=b1。

将[a1,b1]划分为[a1,a1+b1/2][a1+b1/2,b1]，设函数在[a1,a1+b1/2]无界，设a1=a2。

a1+b1/2=b2。

.....

得到{[an,bn]}。

f(x)在 {[an,bn]} 无界，∃ ξ ∈[an,bn]，且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn= ξ。

由于ξ ∈[an,bn]，即ξ ∈[a,b]，f(x)在ξ的某一邻域内极限存在，即∃常数M＞0和δ ＞0，使得当x∈U( ξ,δ)∩[a,b]成立时，有|f(x)|≤M。 (函数极限的局部有界性)

当n充分大时，[an,bn]∈U( ξ,δ)∩[a,b]，与假设矛盾。

所以函数f(x)在[a,b]连续，f(x)在[a,b]有界。

Answer 2

1、函数在闭区间上连续，函数的极限存在，函数在x0的某一邻域内有界(函数极限的局部有界性)
2、证明：
反证法：
设函数f(x)在闭区间[a,b]连续，函数在[a,b]无界
将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b]，设函数在[a,a+b/2]无界(函数不可能在两个闭区间有界)，设a=a1，a+b/2=b1
将[a1,b1]划分为[a1,a1+b1/2][a1+b1/2,b1]，设函数在[a1,a1+b1/2]无界，设a1=a2，a1+b1/2=b2
......
得到{[an,bn]}
f(x)在 {[an,bn]} 无界，∃ ξ ∈[an,bn]，且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn= ξ
由于ξ ∈[an,bn]，即ξ ∈[a,b]，f(x)在ξ的某一邻域内极限存在，即∃常数M＞0和δ ＞0，使得当x∈U( ξ,δ)∩[a,b]成立时，有|f(x)|≤M (函数极限的局部有界性)
当n充分大时，[an,bn]∈U( ξ,δ)∩[a,b]，与假设矛盾。
所以函数f(x)在[a,b]连续，f(x)在[a,b]有界。

Answer 3

既然闭区间，区间每个x都能取到，都有对应的值。既然都有值，在区域就有最大最小值，就会有界。

Answer 4

不连续的函数如何讨论？什么值都有可能
比如1/x，在[-1,1]区间内，0点左右分别是正负无穷大

追问

1/x在0处算没有定义吧，我说的函数在闭区间上有定义，也就是有限，感觉是理所当然的，想要个严谨点的证明，像证明闭区间连续函数有界一样

追答

函数不连续，说明在某点或者某些点的左极限、右极限、该点的值不全部一样，那取值就有无限可能
还是以y=1/x为例，
如果我定义x≠0时，y=1/x；x=0时，y=0
这时候你能说函数有界吗？