Question

证明：当x＞1时，(x+1)lnx＞x-1

Answer 1

∵x＞1，∴lnx＞0、x－1＞0。
∴要证明：lnx/（x＋1）＋1/x＞lnx/（x－1），只需要证明：
（x－1）lnx＋（x^2－1）/x＞（x＋1）lnx，只需要证明：
xlnx－lnx＋（x^2－1）/x＞xlnx＋lnx，只需要证明：（x^2－1）/x＞2lnx，只需要证明：
x^2－1＞2xlnx，只需要证明：x^2－2xlnx－1＞0。
令y＝x^2－2xlnx－1。
求导数，得：y′＝2x－2lnx－2＝2（x－lnx－1）。
再令z＝x－lnx－1。
求导数，得：z′＝1－1/x、　z″＝1/x^2＞0，∴当z′＝0时，即x＝1时，z有极小值为0。
∵x＞1，∴1＞1/x，z′＝1－1/x＞0。
∴当x＞1时，z＝x－lnx－1是增函数，而当x＝1时，z的极小值为0，∴当x＞1时，z＞0。
由z＝x－lnx－1＞0，得：2（x－lnx－1）＞0，∴当x＞1时，y′＝2（x－lnx－1）＞0。
∴当x＞1时，y＝x^2－2xlnx－1是增函数。
显然，当x＝1时，y＝1－0－1＝0，∴当x＞1时，y＝x^2－2xlnx－1＞0。
∴当x＞1时，lnx/（x＋1）＋1/x＞lnx/（x－1）。

追问

抱歉，您的回答好像与我的题目不符，

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