Question

高三数学难题！

现有长度为48m的钢管和面积为S 的铁皮,用钢管焊接一个长方体框架,再用铁皮围在框架的六个表面做成一个长方体水箱(不考虑裁剪和焊接的损失).
(1)无论如何焊接长方体,若要确保铁皮够用,求铁皮面积S的取值范围；
(2)若铁皮面积为90,如何设计长方体的尺寸才能使水箱容积最大?并求最大容积。

Answer 1

(1)4(a+b+c)=48 (a,b,c为长方体边长)
(a+b+c)^2=144
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=144
所以288=2a^2+2b^2+2c^2+4ab+4bc+4ac
=(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(c^2+b^2)+4ab+4bc+4ac
>=2ab+2ac+2bc+4ab+4bc+4ac
=6ab+6bc+6ac
当且仅当a=b=c时等号成立
所以表面积S=2ab+2bc+2ac<=288/3=96
所以要确保铁皮够用,铁皮面积S>=96
(2)90=2ab+2bc+2ac>=3(2ab*2bc*2ac)^(1/3)=6(abc)^(2/3)
当且仅当a=b=c时等号成立
所以体积V=abc<=15^(3/2)=58.09
所以a=b=c=15^0.5=3.87

Answer 2

S>=96m^2
长宽高均为：√15=3.87m
最大容积为：15√15=58.09m^3