Question

【高数】关于等价无穷小的一道题？

不是说求乘积或商或代数和中的各无穷小不要等价替换，但是为什么这道题仍然要选对的？

Answer 1

等价无穷小说白了就是 函数在极限点附近的泰勒展开的第一项 。所以直接用等价无穷小来替换，可能会忽略掉原来函数的高阶无穷小。所以当两个无穷小相加或者相减，很容易造成等价无穷小抵消掉，但是高阶无穷小依旧存在。比如  tan x-sin x， 单独来看 tan x ~x, sin x~ x, 所以用等价无穷小就会导致等于 0.  像 tan x~x+ x^3/3+...  , sin x ~x-x^3/6。

Answer 2

在求数列或函数极限的过程中，等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，求极限时，使用等价无穷小的条件主要是： 被代换的量，在取极限的时候极限值为零；其次，被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。这是要注意的地方。

Answer 3

根据等价无穷小的代换，xsinx做分母等价x平方，另外一个是等价于1/4×括号后面的一堆

追问

不要把别的题目的答案复制粘贴过来= =#

Answer 4

不是一定不能换，要看条件。
利用等价无穷小的定义，可以得出如果a/b≠1，那么a-b~a'-b'。这个是能够替换的条件，是可以证明出来的。

Answer 5

见下图