已知矩形abcd中,E,F分别在AB,AD上,∠EFB=2∠AFE=2∠ECB,CD=9,CE=20,求AF长度?
如图所示，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a。
因为在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，所以△BCE为直角三角形，
由点H为斜边CE的中点，CE=20可知BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，
由AD∥BC可知∠AFB=∠FBC=3a，则∠GBH=3a-a=2a=∠EFB，所以EF∥BH，
有∠FEG=∠GHB=∠HBC+∠HCB=2a=∠EFB=∠GBH，
可知△EFG和△BGH均为等腰三角形，所以BF=EH=10，
而AB=CD=9，所以在直角△ABF中由勾股定理即可算得AF的长为：
AF=√(BF²-AB²)=√(10²-9²)=√19。
设∠AFE=∠ECB=a,则∠AFB=3a,
CD=9,CE=20,
所以BE=20sina,AE=9-20sina>0,sina<0.45.
AF=AEcota=ABcot3a,
即(9-20sina)cota=9cot3a,①
tan3a=(tan2a+tana)/(1-tan2a*tana)
=[2tana/(1-tan^a)+tana]/[1-2tan^a/(1-tan^a)]
=tana(3-tan^a)/(1-3tan^a),其中tan^a=(tana)^2,
①变为(9-20sina)(3-tan^a)=9(1-3tan^a),
9(2+2tan^a)-20sina(3-tan^a)=0,
两边都乘以cos^a/2,得9-10sina(3cos^a-sin^a)=0,
设x=sina,则9-10x(3-4x^2)=0,
40x^3-30x+9=0,
解得x1≈0.36464964，x2≈0.624(舍),x3<0,
所以a≈21.38602255°，
3a≈64.15806764°，
AF=9cot3a≈4.3588988.
仅供参考。
解：过点B作BM∥EF，交CE于点M
设∠AFE=∠BCE=α，则∠EFB=2α
在Rt△AEF中，∠AEF=90°- α
在Rt△BCE中，∠BEC=90°- α
∴∠FEK=180°-∠AEF - ∠BEC
=180°-（90°- α）-（90°- α）
=2α
∴∠FEK=∠EFB
∴KE=KF（等角对等边）
又∵BM∥EF
∴∠EFB=∠KBM=2α，∠FEK=∠KMB=2α（两直线平行，内错角相等）
∴∠KBM=∠KMB（等量代换）
∴KB=KM（等角对等边）
∴KE+KM=KF+KB
即ME=BF
在Rt△ABF中，∠AFB=∠AFE+∠EFB=α+2α=3α
∴∠ABF=90°- 3α
∴∠EBM=∠ABF+∠KBM=90°- 3α+2α=90°- α
∴∠EBM=∠BEC
∴MB=ME
又∵∠MBC=∠ABC - ∠EBM=90°-（90°- α）=α
∴∠MBC=∠BCE
∴MB=MC（等角对等边）
∴ME=MC（等量代换）
即点M是CE的中点
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=9
在Rt△ABF中，由勾股定理得
分析：本题利用了数学中的转化思想，所求是线段的长度，而已知条件所给的两条线段关系不大，并且也不充分，无法根据两条线段的长度继续向下推导，此时应深入挖掘已知条件中角的关系，因为最后要求的是线段的长度，所以需要把角的条件转化成边的条件，自然会用到“等角对等边”，把角的条件转化成边的条件是解本题的关键。
