Question

求不定积分？

Answer 1

1、 令arctanx＝t，则x＝tant，dx＝(sect)^2dt， ∫xe^arctanx/(1+x^2)^3/2 dx＝∫[tant*e^t/(sect)^3*(sect)^2]dt＝∫e^t*sintdt＝1/2*e^t(sint－cost)+C＝1/2*e^arctanx*(x－1)/√(1+x^2)+C 2、 令arcsinx＝t，则x＝sint，dx＝costdt， ∫xarcsinx/√(1-x^2) dx＝∫t*sintdt＝－－t*cost+sint+C＝x－√(1-x^2)arcsinx+C 3、 ∫arctane^x/e^x dx＝∫arctane^x/(e^2x) d(e^x) 令arctane^x＝t，则e^x＝tant，d(e^x)＝(sect)^2dt， ∫arctane^x/e^x dx＝∫arctane^x/(e^2x) d(e^x)＝∫t*(csct)^2dt＝－∫td(cott)＝－t*cott+∫cottdt＝－t*cott+ln|sint|+C＝－e^(-x)*arctane^x+x－1/2ln(1+e^(2x))+C。
。

Answer 2

设t=tan(x/2),则dt=[2/(1+t^2)]dt 同时利用三角万能公式, 即sinx=2t/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),代入化简易得, 原式=1/4*S(t+1/t)dt =1/4*(1/2*t^2+ln|t|)+C =1/4*(1/2*t^2+ln|t|)+C =1/8*t^2+1/4*ln|t|+C =1/8*[tan(x/2)]^2+1/4*ln|tan(x/2)|+C。

Answer 3

可以通过给分子加a^2再减a^2后拆成2个积分分别求解；也可直接做变量替换，令t=a * tan x，化成三角函数积分。

Answer 4

1)∫(√1+cosx)dx/sinx 解：∫(√1+cosx)dx/sinx =∫（√2）cos(x/2)dx/2sin(x/2)cos(x/2) =∫（√2）d(x/2)/sin(x/2) =（√2）ln(tan(x/4))+c 2)∫dx/(1+tanx) 利用yilwohz的过程 得 ∫dx/(1+tanx)=x/2+(1/2)ln(cosx+sinx)+c。

Answer 5

d[arctan(1/x)]=d(1/x)/[1+(1/x)^2] =-dx/x^2*x^2/(1+x^2)=-dx/(1+x^2) 所以∫arctan(1/x)dx/(1+x^2) =-∫arctan(1/x)d[arctan(1/x)] =-（1/2）[arctan(1/x)]^2+C. 注意到arctan(1/x)=arccotx会使过程简单一点。