Question

选择第15题，三角函数，求三角形面积最大值问题。求详细步骤，谢谢啦

Answer 1

解：由任意△的射影定理有，a=ccosB+bcosC，∴sinA=√3a/(2a)=√3/2。又，A为钝角，∴A=120°。
　　由余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2+bc，而题设有a^2=b^2+2c，∴b+c=2。
　　再由基本不等式b+c≥2√(bc)，有bc≤[(b+c)/2]^2=1，
　　∴S△ABC=(1/2)bcsinA=(√3/4)bc≤(√3/4，即最大值是√3/4。供参考。

Answer 2

f(x)=f(2-x),即f(x+1)=f(2-(x+1))=f(1-x),
f(x+1)=f(1-x),即对称轴为x=[x+1+(1-x)]/2=1
有最大值3,故可设y=a(x-1)^2+3
=ax^2-2ax+a+3
韦达定理：
x1+x2=2a/a=2,
x1x2=(a+3)/a=1+3/a
三角形面积=1/2*|x1-x2|*
3=9
得：|x1-x2|=6
即：(x1+x2)^2-4x1x2=36
4-4-12/a=36
a=-1/3
故f(x)=-x^2/3+2x^2/3+8/3

Answer 3

由正弦定理得：
2sin²A=√3(sinCcosB+sinBcosC)
2sin²A=√3sin(B+C)
2sin²A=√3sinA
A为三角形内角，sinA恒>0
2sinA=√3
sinA=√3/2
A为钝角，A=120°
由余弦定理得：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
[c²-(a²-b²)]/(2bc)=cos120°
(c²-2c)/(2bc)=-½
b+c=2
由均值不等式得：b+c≥2√bc
bc≤[(b+c)/2]²=(2/2)²=1
S△ABC=½bcsinA≤½·1·sin120°=½·(√3/2)=√3/4
△ABC面积的最大值为√3/4