Question

设a>0，b>0。且a^2+b^2/2=1,求a倍的根号下1+b^2的最大值

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

第一种方法：用二次函数性质求：
a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=√[a^2(3-2a^2)]
设a^2=t，t≥0
√[a^2(3-2a^2)]=√[t(3-2t)]=√-2[(t-3/4)^2-9/16]
当t=3/4时，最大值3√2/4
a^2=3/4
当a=√3/2 时a√(1+b^2)的最大值为3√2/4

第二种方法：不等式性质(a+b)/2>√ab求解
a√(1+b^2)=a√(3-2a^2)=√[a^2(3-2a^2)]=√[2a^2(3-2a^2)/2]≤√(1/2)[2a^2+(3-2a^2)]/2=3√2/4
当2a^2=3-2a^2时等号成立！