Question

求y=x/2[√(x^2+a^2)]+a^2/2{ln[x+√(x^2+a^2)]}的导数

Answer 1

先计算一个：[√(x²+a²)]'=x/√(x²+a²)，这个可以当作公式记住，很常用
下面两部分分别求
[(x/2)√(x²+a²)]'
乘法求导
=(1/2)√(x²+a²)
+
(x/2)x/√(x²+a²)
=(1/2)[(x²+a²)
+
x²]/√(x²+a²)
=(1/2)(2x²+a²)/√(x²+a²)
{(a²/2)ln[x+√(x²+a²)]}'
={(a²/2)/[x+√(x²+a²)]}[x+√(x²+a²)]'
={(a²/2)/[x+√(x²+a²)]}[1+x/√(x²+a²)]
={(a²/2)/[x+√(x²+a²)]}
{[√(x²+a²)+x]/√(x²+a²))}
=(1/2)a²/√(x²+a²)
两部分相加得：
y'=(1/2)(2x²+a²)/√(x²+a²)
+
(1/2)a²/√(x²+a²)
=(1/2)(2x²+2a²)/√(x²+a²)
=(x²+a²)/√(x²+a²)
=√(x²+a²)
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Answer 2

√x^2是什么意思？还是√(x^2+a^2)，暂且认为是后者吧
y=ln(x+√(x^2+a^2)),
设u=√(x^2+a^2)，则y=ln(x+u)，则u'=1/2(x^2+a^2)^(-1/2)*2x=x(x^2+a^2)^(-1/2)
y'=(1+u')/(x+u)=[1+x(x^2+a^2)^(-1/2)]/[x+√(x^2+a^2)]
=1/√(x^2+a^2)