Question

用定义证明sinX/x的极限为0

Answer 1

这是当x→∞时的结论当x→＋∞时，要证对於任意E>0,总存在X>0,使当x>X时有｜sinx/x-0|0,只要证｜sinx|/x|sinx|/E∵｜sinx|≤1,∴｜sinx|/E≤1/E即只要证x>1/E≥｜sinx|/E∴取X=1/E,则当x>X时，上面不等式都成立。∴lim(x→＋∞）sinx/x=0当x→－∞时，可令t=-x,则t→＋∞，sinx/x=sin(-t)/(-t)=sint/t由上面证明可知lim(t→＋∞）sin(-t)/(-t)=0,即lim(x→－∞）sinx/x=0综上得lim(x→∞）sinx/x=0。

Answer 2

sinx/sqrt(x)
=
(sinx/x)*sqrt(x),
let
x-->0,
so
lim
sinx/sqrt(x)
=
[lim(sinx/x)]*[lim
sqrt(x)]
=
0,
定义域为(0,
正无穷）,
利用lim
(sinx/x)
=
1,
容易通过定义证明
sinx/sqrt(x)
=
(sinx/x)*sqrt(x)的极限为0，因为前面的因子可以保证(sinx/x)<1+a,
然后设法使sqrt(x)

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