Question

在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=1,设M是底面ABC内的一点，定义f(M)=(m,n,p)

在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=1,设M是底面ABC内的一点，定义f(M)=(m,n,p)，其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积，若f(M)=(1/2,x,y)，且1/x+a/y>=8恒成立,则正实数a的最小值为?

Answer 1

解：由题意知，1/2+x+y=2,得x+y=3/2.
所以，1/x+a/y=(1/x+a/y)*(x+y)*2/3
=(1+a(x/y)+y/x+a)*2/3≥(1+2√a+a)*2/3
所以，要使1/x+a/y≥8恒成立，则有(1+2√a+a)*2/3≥8
即，(√a+1)^2≥12,√a+1≥2√3 得 a≥13-4√3
所以，正实数a的最小值为13-4√3。

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