Question

设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵，且齐次线性方程AX=0的解都是BX=0的解，求证B的行向量组必可由A的行向量组线

Answer 1

由题意，设A＝
α1
α2
?
αm
，B＝
β1
β2
?
βs
由齐次线性方程AX=0的解都是BX=0的解，知
BX=0的每一个方程都可以表示成AX=0的m个方程的线性组合
即B的每一个行向量可以表示成A的行向量的线性组合
即βj=k1jα1+k2jα2+…+kmjαm（j=1，2，…，s）
∴（β1，β2，…，βs）=（α1，α2，…，αm）（kij）m×s
∴B的行向量组必可由A的行向量组线性表示

Answer 2

设b=(b1,b2,.....,bs)
ab=a(b1,b2,.....,bs)=(ab1,ab2,.....,abs)=(0,0,....,0)
abi=0
所以
b的列向量bi都是ax=0的解.
以上过程步步可逆,所以
ab=0的充要条件是b的每个列向量均为齐次线性方程组ax=0的解.