Question

高一数学问题 解析几何 圆

已知M(2,0),N(10,0)P(11,3)Q(6,1)四点,试问:它们共圆吗?

Answer 1

我算出来是不共圆的。
先假设四点共圆，用M，N，P的坐标算出圆的方程是：（x-6）²+（y-3）²=25
然后把Q点的坐标代入，发现等式不成立。

Answer 2

先求出MNP三点确定的圆，看Q在不在该圆上就是了
连接圆上任意两点，圆心必在连接这两点的中垂线上
MN的中垂线为X=6
NP中垂线为3Y=-X+15（中垂线求法：斜率等于NP连线斜率的负倒数，也就是倒数的负数，NP斜率为3，则中垂线斜率为-1/3，然后代入NP中点坐标（10.5，1.5）可求得中垂线方程）
这两条中垂线交点为（6，3），也就是说，由MNP三点确定的圆，这个就是圆心了
然后验算出该点与M,N,P的距离都是5，但是与Q距离不是5
所以不共圆

Answer 3

求出过任意三点的圆的方程，然后判断第四点是否满足该方程即可。

Answer 4

解法一：可以假设M、N、P所在的圆方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,
将三个点坐标代入，求出D、E、F。
再检验Q的坐标是否满足圆的方程，
如果满足则四点共圆，否则不共圆。
解法二：利用余弦定理，研究四边形对角是否互补。
比如：MN=8，MQ=根号17，NQ=根号17
cos角NMQ=（MN^2+MQ^2-NQ^2）/(2MN*MQ)
同理求cos角NPQ。
如果两角的余弦值互为相反数，则再将另两个角的余弦值比较。
如果两对都成相反数，则共圆；否则有一对不是就不共圆。

Answer 5

不共圆

Answer 6

不共圆。先用三点求圆的方程再用最后一点代入发现不满足该方程