Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x...

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2011）=（ ） A．6 B．4 C．3 D．2

Answer 1

分析：先由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，得函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）-f（x）=2f（2），可得函数周期为4；就把f（2011）转化为f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．
解答：解：∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
∵对任意x∈R，都有f（x+4）-f（x）=2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）
∴f（-2）+f（2）=0，
即2f（2）=0，
∴f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），即函数周期为4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故选D．
点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，赋值法解决问题的常用方法，属于中档题．