Question

下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的序号）①函数f(x)=cos2x...

下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的序号） ①函数f(x)=cos2x-2√3sinxcosx在区间[-π6，π3]上是单调递增的； ②在△ABC中，BC=1，B=60°，当△ABC的面积为√3时，AB=4； ③若a为非零向量，且a•b=0，则满足条件的向量b有无数个； ④已知π2＜α＜β＜π，且sinα=√55，sinβ=√1010，则α+β=5π4．

Answer 1

②③
解：对于①，f(x)=cos2x-2√3sinxcosx
=cos2x-√3sin2x=2(12cos2x-√32sin2x)
=2cos(2x+π3)．
由-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ，k∈Z，得
-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ，k∈Z．
取k=1，得π3≤x≤5π6．
∴函数f(x)=cos2x-2√3sinxcosx在区间[-π6，π3]上不是单调递增的．命题①错误；
对于②，由S△ABC=12•AB•BCsinB=12•1•AB•sin60°=12×√32AB=√3，
∴AB=4．命题②正确；
对于③，∵a为非零向量，则零向量及与a垂直的非零向量均满足a•b=0，
∴命题③正确；
对于④，∵π2＜α＜β＜π，且sinα=√55，sinβ=√1010，
∴cosα=-√1-sin2α=-√1-(√55)2=-2√55，
cosβ=-√1-sin2β=-√1-(√1010)2=-3√1010．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22．
又π＜α+β＜2π，
∴α+β=7π4．命题④错误．
∴正确的命题是②③．
故答案为：②③．