Question

变限积分函数的求导

Answer 1

设函数 在区间 上连续，设 为区间 上的一点，考察定积分

如果上限 在区间 上任意变动，则对于每一个取定的 值，定积分 都有一个对应值，所以它在区间 上定义了一个函数，记为

该函数就是 积分上限函数 。

如果函数 连续， 和 可导，那么 变限积分函数 的求导公式可表示为

[推导过程]
记函数 的原函数为 ，则有

或

则对 运用 牛顿-莱布尼茨公式 可得

由函数和的求导法则

可得

由复合函数的求导法则

可得

由(2)式 可知 ，则(8)式可改写为

定理1 如果函数 在区间 上连续，则积分上限函数 在 上具有导数，且导数为：

求极限

令函数 ，则函数 在 处连续，运用 洛必达法则 (L'Hôpital's rule)则有

这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式(3)可得

则有