Question

设A为你阶方阵，a1，a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量a3满足Aa3=a2+a3,证明：a1,a2,a3线性无关

请不要复制，希望有人看到！！

Answer 1

lxkzhi 的思路是对的，但后面有点问题，表达也不够严谨，我补充完整了，如下

反证法：
前面同 lxkzhi
假设a1,a2,a3线性相关，则存在不同时为零的三个数k1,k2,k3使得：
k1a1+k2a2+k3a3=0
有条件可知：
(A+E)a1=0
(A-E)a2=0
(A-E)a3=a2
对k1a1+k2a2+k3a3=0 (1)
同时左乘以A-E得
k1(A-E)a1+k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
k1(A-E)a1+k3a2=0
再同时左乘以A-E，得
k1(A-E)(A-E)a1=0 (0为0向量)

（从下面起是我的补充）
因为(A-E)a1都不为零，且(A-E)a1不等于a2 (这里容易证明，可自己推一下，不明白再问我）
所以k1=0

所以由(1)式得k2a2+k3a3=0 (2)
两边同时左乘(A-E)得
k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
因为 (A-E)a2 = 0
所以 k3(A-E)a3=0
又 (A-E)a3 不为0
所以k3 = 0
所以由(2)式得 k2 = 0
综上得 k1，k2，k3都为0，与假设矛盾，故假设不成立，即a1,a2,a3线性无关

Answer 2

反证法：
假设a1,a2,a3不是线性无关，则存在不同时为零的三个数k1,k2,k3使得：
k1a1+k2a2+k3a3=0
有条件可知：
(A+E)a1=0
(A-E)a2=0
(A-E)a3=a2
对k1a1+k2a2+k3a3=0同时左乘以A-E得
k1(A-E)a1+k2(A-E)a2+k3(A-E)a3=0
k1(A-E)a1+k3a2=0
再同时左乘以A-E，得
k1(A-E)(A-E)a1=0 (0为0向量)
因为A-E和a1都不为零，所以k1=0。

所以k2a2+k3a3=0，即a3=ka2
代入Aa3=a2+a3，得
kAa2=a2+ka2
又Aa2=a2，代入上式得
ka2=a2+ka2
即a2=0，这与特征向量非零矛盾，所以a3=ka2不成立，即若使k2a2+k3a3=0需要k2=0,k3=0

所以不存在三个非零的常数k1,k2,k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0成立。即a1,a2,a3线性无关

证法比较麻烦，你还是等等其他答案吧。自己感觉做的不好