Question

计算机组成原理，图中第二处画波浪线的地方，补码的表示范围不应该是-2^n~2^n吗？为什么图中要-1呢？

Answer 1

假设整数字长为8位，最高位为符号位
对于原码来说，能表示的正数为：0000 0000 ~ 0111 1111，即0~127=2^7-1
能表示的负数为：1000 0001 ~ 1111 1111，即-1~-127
对于补码来说，能表示的正数为：0000 0000 ~ 0111 1111，即0~127
能表示的负数为：1000 0000 ~ 1111 1111，即-128~-1
由于在原码中0000 0000和1000 0000均表示整数0
而在补码中1000 0000表示-128，因此补码比原码多表示一个整数-128
但无论如何补码也表示不了128，因为128对应的二进制为 0 1111 1111，超过8位字长了
因此n+1位字长整数的补码表示范围为：-2^n~2^n-1

Answer 2

n 位的二进制代码，可以是原码反码补码。

原码反码，在计算机中，都是不用的，也都是不存在的，不必讨论。

n 位的补码，共有 2^n 种组合。

如 n＝8，则是 2^8 = 256 种。

8 位补码，其中的一半是：2^(8-1) = 128 个。

那么，它就可以代表 128 个负数：－128～－1。

其余 128 个，代表：0 ~ ＋127。

所以，8 位的补码，所表示数值 X 的范围是：

　　　　　－128 <= X <= +128－1。

一般，n 位的补码，所表示数值 X 的范围是：

　　　－2^(n-1) <= X <= +2^(n-1)－1。

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8 位补码，你把小数点，左移 1 位，那么其范围，就是 1/2 了。

如果，你把小数点，左移 7 位，那么其范围，就是 1/2^7 了。

即 1/128。

左移 7 位后，就形成了“定点小数”的补码。

其数值 X 的范围是：

　　－128/128 <= X <= +128/128－1/128。

即：－1 <= X <= 1－1/128。

证明完毕。