Question

过点P(2,1)作直线L，分别交X轴，Y正半轴于于A、B两点，当三角形AOB面积最小时，求直线L的方程？

Answer 1

设直线方程为Y=K（X-2）+1（K<0）则与X轴，Y正半轴的交点分别为A（（2K-1）/K，0）B（0，
-2K+1）三角形AOB面积=1/2·AO·OB=1/2·|（2K-1）/K|·|-2K+1|=（4倍K的平方-4K+1）/-2K=（-2K）+（1/-2K）+2>=2倍根号下（（-2K）·（1/-2K）） +2=4
当且仅当“（-2K）=（1/-2K）”时，三角形AOB面积有最小值为4，则K=-1/2（K<0，K=1/2舍去）
直线L的方程为Y=-1/2X+2

Answer 2

let L:y=mx+c
it pass through P(2,1)
1= 2m+c
c=1-2m
L: y = mx + (1-2m), =>
A(-(1-2m)/m ,0), B( 0, 1-2m)
三角形AOB面积
A=(1/2)|OA||OB|
= (1/2) [-(1-2m)/m]( 1-2m)
= -(1/2)(1-2m)^2/m
A' = -(1/2) [(1-2m)^2 +4m(1-2m)]/m^2 =0
(1-2m)^2 + 4m(1-2m) =0
1-4m +4m^2 +4m -8m^2 = 0
4m^2 = 1
m = 1/2 or -1/2

when m =-1/2
c =1-2m
= 1- 2(-1/2) = 2
m= 1/2, => c = 0 ( rejected)

A''(-1/2) > 0 ( min)

L: y = (-1/2) x + 2

Answer 3

最笨的方法:
可令直线l的方程为y-1=k*(x-2)
求出坐标A(-1/k +2,0),B(0,-2k+1)
再求出|PA|=根号(1/k^2 +1),|PB|=2*根号(k^2+1)
所以|PA|*|PB|=2根号(1/k^2 +1)*根号(k^2+1)
=2*根号[(1/k^2 +1)(k^2+1)]
=2*根号[2+k^2 + 1/ k^2]
>=2*根号(2+2)
=4
要取等号必须 k^2 =1/ k^2 得k=±1
又直线l交x,y轴正半轴
因此k只能取－1
所以直线l的方程为 y=－x+3

简单的方法：
参数法：
直线方程为
x=2+t*cosα
y=1+t*sinα
可得|PB|＝|2/cosα|, |PA|＝|1/sinα|
|PA||PB|=|(2/cosα)*(1/sinα)|
=|2/(cosα*sinα)|
=|4/sin2α|
>=4
当sin2α=1即α＝45度或135度时最小（α是直线与x正半轴的成的角）
又直线l交x,y轴正半轴
所以α＝135度
即直线的斜率为－1
其他同上