Question

设f(x)对任意X都有f(x+1)=2f(x),且f'(0)=-1/2,求f'(1)

Answer 1

一楼结果虽正确,但过程错误.
原因是题中并未告诉f(x)是否可导.
因此,直接求导不对.
需严格按导数定义
∵f(x+1)=2f(x),
取x=0
有f(1)=2f(0)
∵lim(t->1)[f(t)-f(1)]/(t-1),令t-1=x
=lim(x->0)[f(x+1)-f(1)]/x
=lim(x->0)[2f(x)-f(1)]/x
=lim(x->0)[2f(x)-2f(0)+2f(0)-f(1)]/x
=lim(x->0)2[f(x)-f(0)]/x+lim(x->0)[2f(0)-f(1)]/x
=2f'(0)+0
=-1
∴f'(1)=lim(t->1)[f(t)-f(1)]/(t-1)=-1