Question

怎样求椭圆上一点到椭圆焦点的距离？

Answer 1

1、几何证明法：

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率乘以(A到准线的距离+B到准线的距离)= 2倍离心率·AB中点到准线的距离。

设AB中点为M,若FA ≥ FB,则F在线段BM上。

M到准线的距离 ≥ B到准线的距离,可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离。

而AB为通径时,M到准线的距离 = F到准线的距离。

此时M到准线的距离取到最小值,于是AB长度也取得最小值。

2、代数方程法：

设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1

过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在)。

然后方程联立，利用弦长公式可整理成关于m的函数式。

从中求出当且仅当m=0时,弦长最短。

扩展资料：

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处，抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。该比率称为椭圆的偏心率。

Answer 2

可以利用圆锥曲线的统一的定义，求椭圆上一点到焦点的距离。

即:椭圆上任意一点到焦点的距离等于这个点到相应准线的距离与离心率的积。

如:

供参考，请笑纳。