Question

如图所示,△ABC是圆O的内接三角形,直径GH⊥AB,交AC于点D，GH，BC的延长线相交于点E （1）求证∠OAD=∠E

（2）若OD=1,DE=3,求圆O的半径

Answer 1

1，连接AG,AH,CG
弧AH所对圆心角∠AOD=2∠ACH=2∠AGH
因为GH是直径，在圆内有△GCH是直角三角形有∠BCE=180
所以∠GCB+∠HCE=90 一
因为GH是直径所以△AGH也是是直角三角形
∠AGH+∠AHG=90 二
又直径GH垂直于AB
所以弧AG=BG
所以∠GCB=∠GHA
又有一，二知∠HCE=∠AGH
所以∠DCE=∠AGD+∠DCH=2∠ACH=∠AOD
又有∠ODA=∠CDE
所以△OAD相似于△CED
所以∠OAD=∠E

2，由△OAD相似于△CED
知AD/DE=OD/CD
即AD*CD=DE*OD=3
因为∠AGH=∠DCH，∠ODA=∠CDE
所以△DAG相似于△DHC
AD/DH=DG/DC
即AD*CD=DH*DC=(r+1)(r-1)=3
所以r=2
即圆O的半径为2

Answer 2

从O做三边的垂线，连接OM、ON、OH、OG、OE、OF。
因为MN=HG=EF（我命名的三条弦），OM=ON=OH=OG=OE=OF=半径，边边边△OMN、△OHG、△OEF全等，所以三条垂线相等。
垂线相等，OB=OB，OC=OC（稍微推倒）得到OB是角ABC的平分线。同理OC是角ACB的平分线。所以∠BOC=180°-1/2*（∠ABC）-1/2*（∠ACB）=90°+1/2*（90°-∠ABC-∠ACB）=90°+1/2*∠A=90°-35°=125°

Answer 3

图在哪？