Question

中考数学28题

已知，在正方形ABCD中，点P为射线DC上任意一点，连接BP，以线段BP为斜边向上作等腰直角三角形BEP，过点E作EF垂直AB，垂足为点F。
当点P在线段CD上时,求证AD-CP=2EF

Answer 1

一般来讲，你在试卷上看到的让你证明的结论肯定是成立的（不排除偶尔有老师老眼昏花打错字母的情况）。
所以在这道题里面只要想办法把等式两边的线段表示出来就肯定可以证明出来。
做几何证明题画图很关键。本题中关键是确定P点在正方形里面还是正方形外面。可以假设C点和D点是P,就得到P的一个范围。最后我们确定，当P在线段CD上时，点E肯定在正方形里面。
设等腰直角三角形BEP的腰长为x，角EBF角度为Y。则线段EF = x*sinY。
BP的长度为√2x，CP = √2x*sin(45° - Y)；长方形的边长为√2x*cos(45° - Y)
所以，AD - CP = √2x*cos(45° - Y) - √2x*sin(45° - Y)
= √2x*[ cos(45° - Y) - sin(45° - Y) ]
= √2x*[ cos45°cosY + sin45°sinY - sin45°cosY + cos45°sinY]
= √2x*(√2/2cosY + √2/2sinY - √2/2cosY + √2/2sinY)
=√2x*(√2sinY)
= 2*x*sinY = 2EF
得证。

Answer 2

由等腰直角三角形BEP得
BE=√2BP/2
∠PBE=45°
由直角三角形BCP得
AC=cos∠PBC×BP
CP=sin∠PBC×BP
AD-CP=AC-CP=BP(cos∠PBC-sin∠PBC)
由直角三角形BEF得
EF=sin(90°-∠PBE-∠PBC)BE
=sin(45°-∠PBC)2BP/2
=(√2/2cos∠PBC-2/2sin∠PBC)√2BP/2
=?BP(cos∠PBC-sin∠PBC)
所以AD-CP=2EF