Question

有关导数的问题

f(x)=x^2 sin(1/x) (X不等于0）
请问该函数在x=0处可导吗？
还有该函数的导函数在x=0处的函数值是否等于f '(0)？

Answer 1

我手机打的，不好设置格式，符号少，用文字你将就下　
由于函数在x=0的地方是个跳跃点，所以要用定义法求解
根据定义法的表达式，是否可导，要看你给f(0)补充的定义是多少咯，设你补充的为f(0)=m，就看当x~0时候，极限[f(x)-m]/x是不是存在，存在就可导，不存在就不可导。
假设你补充
在x~0的时候，f(0)=0，这时候根据定义法，得到其导数就是x~0时xsin(1/x)的极限，x为无穷小，后面的sin(1/x)是有界函数，所以此时导数存在为0
因为补充的定义是f(0)=0，所以导数值等于函数值
以上只是特例，意思是不一定你补充的定义都能使导数存在，导数值也不一定为函数值相等
依据定义严格去求，相信碰到的题目你可以去解决的

Answer 2

导数的数学意义
导数的数学意义就是瞬时变化率，也就是函数在某一点上的变化率。对于一元函数F(x)来讲，就是x在某一点上取得一个改变量时，函数将以多大的比例发生改变；而对于二元函数F(x,y)而言，有偏导之说，x的偏导就是在y不变的情况下，当x在某一点上取得一个改变量时，函数将以多大的比例发生改变，y的偏导就是在x不变的情况下，当y在某一点上取得一个改变量时，函数将以多大的比例发生改变。
导数的几何意义
导数的几何意义是，导数在几何上表现为切线的斜率。对于一元函数，某一点的导数就是平面图形上某一点的切线斜率；对于二元函数而言，某一点的导数就是空间图形上某一点的切线斜率。

关于切线问题思路
就是利用导数的几何意义将该点的斜率求出
然后用点斜式写出切线方程