Question

定积分的应用

设（t，t²+1）为曲线段y=x²+1上的点，
(1)试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线，以及x=0，x=α所围成图形的面积A(t)。
(2)当t取何值时，A(t)最小？

Answer 1

答：
可以先粗略画草图方便理解。
(1).y'=2x，当x=t时，切线斜率为2t，又切线过(t,t^2+1)，所以切线为y=2tx-t^2+1.
(我觉得题目应该是默认a>0的，但是没写清楚，所以还是加以讨论更为严谨)假设a>0,围成的面积为A(t)=∫(0到a)dx∫(2tx-t^2+1到x^2+1)dy
=∫(0到a) x^2-2tx+t^2 dx
=x^3/3-tx^2+xt^2|(0到a)
=a^3/3-ta^2+at^2
a<0时，同理算得A(t)=-a^3/3+ta^2-at^2
(2).
当a>0时：A'(t)=2at-a^2，当A'(t)=0时，2at-a^2=0，即t=a/2；
当a<0时：A'(t)=-2at+a^2，当A'(t)=0时，-2at+a^2=0，即t=a/2；
即无论a是否大于0，A'(t)=0时，t=a/2.
通过检验得当t>a/2时，A'(t)>0，当t<a/2时，A'(t)<0
所以当t=a/2时，A(t)取极小值且为最小值。当a>0时，A(a/2)=a^3/12；a<0时，A(a/2)=-a^3/12。
即不管a是否大于0，最小面积都是|a|^3/12.

Answer 2

1.
函数是表示曲线的形状？那曲线从哪里开始就从哪里开始积分啊
2.
顺着X轴方向看，每个dx长度上的 图形都是圆环
每个圆环的体积为[PAI*(1+根号（2x))^2-PAI*(1-根号（2x))^2]*dx
然后对X轴积分，积分区域为0到0.5

绕哪个轴就顺着哪个轴看，并在此轴上取微小量。比如两个垂直于x轴的平面截一个球，可以得一个圆台，但是当截面间的间距无限小的时候，圆台就可以看做是圆柱了，用微小量，dx表示圆柱的高，而底圆的半径是可以通过函数来表示的，这样就求除了圆柱的体积，然后再在左边加上积分符号，积分限，就是定积分了