Question

设,求f(0,0)f(x,y)=arctan(x-y)/(1-xy)

Answer 1

这道题目给出的是一个二元函数$f(x,y)=\frac{\arctan(x-y)}{1-xy}$，要求在$(0,0)$处的函数值$f(0,0)$。
首先计算$f(x,y)$的偏导数：
$$\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{1}{(1-xy)^2}\cdot \frac{1}{1+(x-y)^2}, \ \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{-1}{(1-xy)^2}\cdot \frac{1}{1+(x-y)^2}.\end{aligned}$$
因为$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，所以可以利用二元函数的一阶泰勒展开式来计算$f(0,0)$：
$$\begin{aligned}f(x,y) &\approx f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y \ &= f(0,0) + \frac{1}{1}x + \frac{-1}{1}y \ &= f(0,0) + x - y.\end{aligned}$$
注意到当$(x,y)$在直线$y=x$上时，有$\arctan(x-y)=0$，因此$f(x,y)=0$，即直线$y=x$上的所有点都是$f(x,y)=0$的解。特别地，当$(x,y)=(0,0)$时，$f(x,y)=0$，因此$f(0,0)=0$。
因此，答案为$f(0,0)=0$。